ベクトル三重積公式
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* 凌宮組立術: $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \...
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;,ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚え...
;,ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように...
*** (1) 垂直の垂直で元の平面 ⇒ 平面上で成分分解 [#q98f0a98]
|&attachref(./BxC.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).png,35%,left,around);|
;,まず、左辺の$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$について、
;,外積の性質として$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md...
;,$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \i...
;,同様に、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[...
;,その結果、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は、$$ \...
;,&font(#06C){垂直};の&font(#C00){垂直};で&font(#080){元...
|&attachref(./PerpPerp.png,30%,left,around);|
;,というわけで、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$...
;,よって、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[...
((難しい言い方をすると、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{...
;,これを穴埋めの形で書くと、こうなる:
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircle...
#ceq(end)
;,ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、$$ ...
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***(2) 次元解析 & スカラ積=内積 [#tcdf37a3]
;,次は、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$が3つの文...
;,よって、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$も$$ \f...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircle...
#ceq(end)
;,さらに、係数はスカラ値である必要があるため、$$ ? $$は自...
((実際、2つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけでは...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircle...
#ceq(end)
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***(3) 極端な例で符号判定 [#y54d2ea9]
;,外積の交代性で$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$であ...
;,$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代し...
交代則を成立させるには、2つの$$ \textcircled{\phantom{...
;,この符号は外積の立体的な回転を2回も考える必要がある。
;,今は符号さえ分かれば良いので、問題を簡単にしてから調べ...
//
//|&attachref(./符号Ax(BxC).png,30%,left,around);|&attach...
//
//;,$$ \:B \vx \:C $$は外積であるため、結果が変らないよう...
//;,$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$も同様、結果が変らないよう...
//;,さらに、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C'} $$をそ...
//;,対して、$$ \iro[ao]{\:A'} $$は$$ \:i + \:j $$としても...
//;,仕舞に、$$ \iro[ao]{\:A'} $$を$$ \:i $$に選んでも片方...
//
//そうすると、ベクトル三重積が、空間ベクトルの基本である...
//|*正順|*逆順|
//|$$ \:i $ \vx $ \:j $ = $ \:k $$|$$ \:j $ \vx $ \:i $ =...
//|$$ \:j $ \vx $ \:k $ = $ \:i $$|$$ \:k $ \vx $ \:j $ =...
//|$$ \:k $ \vx $ \:i $ = $ \:j $$|$$ \:i $ \vx $ \:k $ =...
//
;,外積で一番簡単に計算できるのは、単位基本ベクトル$$ \:i ...
;,これが向き、つまり符号、の定義と言っても過言でない。
#ceq(e)
$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$
&br;⇒ $$ \:i \vx (\:i \vx \:j) $ = $ \:i $ \vx $ \:k $ ...
&br;⇒ $$ -\:C $$
#ceq(a)
$$ \:B $$⇔$$ \:i $$
&br;$$ \:C $$⇔$$ \:j $$
#ceq(end)
というわけで、$$ \:C $$の前が「$$-$$」、残る$$ \:B $$の前...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}...
#ceq(end)
他方、紛らわしい$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx ...
#ceq(e)
$$ (\:A \vx \:B) \vx \:C $$
&br;⇒ $$ (\:i \vx \:j) \vx \:i $ = $ \:k $ \vx $ \:i $ ...
&br;⇒ $$ +\:B $$
#ceq(a)
$$ \:A $$⇔$$ \:i $$
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#ceq(end)
というわけで、$$ \:B $$の前が「$$+$$」、残る$$ \:A $$の前...
#ceq(e)
$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C...
#ceq(end)
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* まとめ・つなぎ [#f167d396]
;,ベクトル三重積の公式$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B}...
;,以下の手順で公式を簡単に組み立てられる:
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\:A} $ \vx $ (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:...
#ceq(q)
$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) $ \vx $ \iro[ao]{\...
#ceq(e)
$$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $...
#ceq(q)
$$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $...
#ceq(a)
(1) 平面決定・成分分解
#ceq(e)
$$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro...
#ceq(q)
$$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:B \sx \:C) $ \iro...
#ceq(a)
(2) 次元決定・演算決定
#ceq(e)
$$ = $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx...
#ceq(q)
$$ = $ - $ (\:B \sx \:C) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:A \sx...
#ceq(a)
(3) 符号決定
#ceq(e)
∵ &font(75%){$$ \iro[ao]{\:i} $ \vx $ (\iro[md]{\:i...
#ceq(q)
∵ &font(75%){$$ (\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j}) $...
#ceq(a)
&font(75%){簡単な特例で符号調べ};
#ceq(end)
;,なお、各ステップの意味合い、および、符号決定の別手法は...
;,また、ベクトル三重積の応用例は乏しく、簡単に見つかるの...
- ベクトル微分の回転$$ \:\nabla \vx $$が絡む[[回転公式>ht...
&br;ただし、通常表記では表記の制約上、ベクトル三重積を適...
- 角運動量$$ \:L $$と角速度$$ \:\omega $$の関係式$$ \:L $...
&br; ただし、これは$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $$の場合...
- 空間ベクトル$$ \:A $$を$$ \:u $$方向の[[単位ベクトル]]$...
&br; $$ \:A $ = $ \:A_{\,\parallel\:1_u} $ + $ \:A_{\p...
$$ , $$ $$ \bigg\{ \begin{array}{ll} \:A_{\,\parallel\:1_...
&br; ベクトル三重積公式がは、分解式を移項した$$ $ \:A_{\p...
&br; $$ (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u $ = $ \cancel{(\:1_...
&br; ただし、これも$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $$の場合...
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* 凌宮組立術: $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \...
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;,ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚え...
;,ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように...
*** (1) 垂直の垂直で元の平面 ⇒ 平面上で成分分解 [#q98f0a98]
|&attachref(./BxC.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).png,35%,left,around);|
;,まず、左辺の$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$について、
;,外積の性質として$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md...
;,$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \i...
;,同様に、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[...
;,その結果、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は、$$ \...
;,&font(#06C){垂直};の&font(#C00){垂直};で&font(#080){元...
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;,というわけで、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$...
;,よって、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[...
((難しい言い方をすると、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{...
;,これを穴埋めの形で書くと、こうなる:
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircle...
#ceq(end)
;,ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、$$ ...
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***(2) 次元解析 & スカラ積=内積 [#tcdf37a3]
;,次は、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$が3つの文...
;,よって、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$も$$ \f...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircle...
#ceq(end)
;,さらに、係数はスカラ値である必要があるため、$$ ? $$は自...
((実際、2つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけでは...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircle...
#ceq(end)
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***(3) 極端な例で符号判定 [#y54d2ea9]
;,外積の交代性で$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$であ...
;,$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代し...
交代則を成立させるには、2つの$$ \textcircled{\phantom{...
;,この符号は外積の立体的な回転を2回も考える必要がある。
;,今は符号さえ分かれば良いので、問題を簡単にしてから調べ...
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//
//;,$$ \:B \vx \:C $$は外積であるため、結果が変らないよう...
//;,$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$も同様、結果が変らないよう...
//;,さらに、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C'} $$をそ...
//;,対して、$$ \iro[ao]{\:A'} $$は$$ \:i + \:j $$としても...
//;,仕舞に、$$ \iro[ao]{\:A'} $$を$$ \:i $$に選んでも片方...
//
//そうすると、ベクトル三重積が、空間ベクトルの基本である...
//|*正順|*逆順|
//|$$ \:i $ \vx $ \:j $ = $ \:k $$|$$ \:j $ \vx $ \:i $ =...
//|$$ \:j $ \vx $ \:k $ = $ \:i $$|$$ \:k $ \vx $ \:j $ =...
//|$$ \:k $ \vx $ \:i $ = $ \:j $$|$$ \:i $ \vx $ \:k $ =...
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;,外積で一番簡単に計算できるのは、単位基本ベクトル$$ \:i ...
;,これが向き、つまり符号、の定義と言っても過言でない。
#ceq(e)
$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$
&br;⇒ $$ \:i \vx (\:i \vx \:j) $ = $ \:i $ \vx $ \:k $ ...
&br;⇒ $$ -\:C $$
#ceq(a)
$$ \:B $$⇔$$ \:i $$
&br;$$ \:C $$⇔$$ \:j $$
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というわけで、$$ \:C $$の前が「$$-$$」、残る$$ \:B $$の前...
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$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}...
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他方、紛らわしい$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx ...
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$$ (\:A \vx \:B) \vx \:C $$
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というわけで、$$ \:B $$の前が「$$+$$」、残る$$ \:A $$の前...
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$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C...
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* まとめ・つなぎ [#f167d396]
;,ベクトル三重積の公式$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B}...
;,以下の手順で公式を簡単に組み立てられる:
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\:A} $ \vx $ (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:...
#ceq(q)
$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) $ \vx $ \iro[ao]{\...
#ceq(e)
$$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $...
#ceq(q)
$$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $...
#ceq(a)
(1) 平面決定・成分分解
#ceq(e)
$$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro...
#ceq(q)
$$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:B \sx \:C) $ \iro...
#ceq(a)
(2) 次元決定・演算決定
#ceq(e)
$$ = $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx...
#ceq(q)
$$ = $ - $ (\:B \sx \:C) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:A \sx...
#ceq(a)
(3) 符号決定
#ceq(e)
∵ &font(75%){$$ \iro[ao]{\:i} $ \vx $ (\iro[md]{\:i...
#ceq(q)
∵ &font(75%){$$ (\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j}) $...
#ceq(a)
&font(75%){簡単な特例で符号調べ};
#ceq(end)
;,なお、各ステップの意味合い、および、符号決定の別手法は...
;,また、ベクトル三重積の応用例は乏しく、簡単に見つかるの...
- ベクトル微分の回転$$ \:\nabla \vx $$が絡む[[回転公式>ht...
&br;ただし、通常表記では表記の制約上、ベクトル三重積を適...
- 角運動量$$ \:L $$と角速度$$ \:\omega $$の関係式$$ \:L $...
&br; ただし、これは$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $$の場合...
- 空間ベクトル$$ \:A $$を$$ \:u $$方向の[[単位ベクトル]]$...
&br; $$ \:A $ = $ \:A_{\,\parallel\:1_u} $ + $ \:A_{\p...
$$ , $$ $$ \bigg\{ \begin{array}{ll} \:A_{\,\parallel\:1_...
&br; ベクトル三重積公式がは、分解式を移項した$$ $ \:A_{\p...
&br; $$ (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u $ = $ \cancel{(\:1_...
&br; ただし、これも$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $$の場合...
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xu基底系.png
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q_2d.gif
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